SPL Dan Matriks

SPL dan Matriks

A.      Sistem persamaan Linear

Penyelesaian n persamaan linear dan n bilangan yang tidak diketahui

 i.          Dua persamaan liniear dengan dua bilangan yang tidak diketahui

(1)   a₁ x + b₁ y = k₁ ...........(I)

(2)   a₂ x + b₂ y = k₂ ...........(II)

A dan b masing – masing adalah koefisien dari x dan y

K₁ = konstanta

(I)       x a₂ » a₁a₂ x + a₂ b₂ y = a₂k₁

(II)    x a₁  » a₁a₂ x + a₁ b₂ y = a₁k₂ –

          (a₁b₂ – a₂b₁)y = (a₁k₂ – a₂k₁ )

Atau 

Asalkan a₁ b₂ – a₂ b₁ ≠ 0

Bila (I) x b     maka diperoleh

       (II)x b

Asalkan a₁ b₂ – a₂ b₁ ≠ 0

Bentuk (III) dan (IV) dapat ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut:

Asalkan

Ii    tiga persamaan linear dengan tiga bilangan yang tidak diketahui:

(1)   a₁ x + b₁y + c₁z= k₁ ...........(I)

(2)   a₂ x + b₂ y + c₂z= k₂ ...........(II)

(3)   a₃ x + b₃ y + c₃ z = k₃ ...........(III)

(I)         x c₂ »  a₁ c₂ x + b₁ c₂ y + c₁ c₂ z = k₁ c₂

(II)      x c₁ »  a₂ c₁ x + b₂ c₁ y + c₁ c₂ z = k₂ c₁

      (a₁c₂ – a₂c₁)x + (b₁c₂ – b₂c₁)y = k₁c₂ – k₂c₁ .........(IV)

(III)   x c₃ »  a₂c₃x + b₂c₃y + c₂c₃z = k₂c₃

(IV)   x c₂ »  a₃c₂x + b_­3c₂y + c₃c₂z = k₃c₂ –

          (a₂c₃ – a₃c₂)x + (b₂c₃ – b₃c₂)y = k₂c₃ – k₃c₂ .........(V)

Dari [(IV) x (b₂c₃ – b₃c₂) – (V) x (b₁c₂ – b₂c₁)] diperoleh kesamaan dengan ruas kiri

[(a₁c₂ – a₂c₁)(b₂c₃ – b₃c₂) – (a₂c₃ – a₃c₂)(b₁c₂ – b₂c₁)] x dan ruas kanan yaitu:

(k₁c₂ – k₂c₁)(b₂c₃ – b₃c₂) – (k₂c_­3 – k­₃c₂)(b₁c₂ – b₂c₁)

Pada ruas kiri , koefisien dari x adalah

(a₁b₂c₂c₃ – a­_2­b₂c₁c₃ – a₁b₃c₂ + a₂b₃c₁c₂) – (a₂b₁c₂c_­3 + a₃b₁c₂ – a₂b₂c₁c₃ + a₃b₂c₁c₂)

= a₁b₂c₂c₃ -  a₁b₃c₂ + a₂b₃c₁c₂ – a₂b_1­c₂c₃ + a₃b₁c_2­ – a₃b_2­c₁c₂

=c₂(a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ – a₃b₂c₁ – a₂b₁c₃ – a₁b₃c₂)

Sedang ruas kanan menjadi:

(k₁b₂c₂c₃ – k₂b₂c₁c₃ – k₁b₃c₂ + k₂b₃c₁c₂) – (k₁b₁c₂c₃ – k₃b₁c₂ – k₂b₂c₁c₃ + k₃b₂c₁c₂)

= k₁b₂c₂c₃ – k₁b₃c_­2 + k₂b₃c₁c₂ – k₂b₁c₂c₃ + k₃b₁c₂ – k₃b₂c₁c₂

= c₂(k₁b₂c_­3 + k₂b₃c₁ + k₃b₁c₂ – k₃b₂c₁ – k₂b₁c₃ – k₁b₃c₂)

Jadi harga x adalah

Asalkan koefisien dari x tidak sama dengan nol

B.       Matriks

Matriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan.

Contoh – contoh :
1. Kesamaan Dua Matriks

Tentukan nilai 2x-y+5z!
Jawab:

 maka 

 maka 

 maka 

2. 
3. Contoh Perkalian matriks dengan variabel
4.